Định lí Miquel, các đặc thù liên quan tiền và một trong những bài tập áp dụng
Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ reviews đến quý bạn đọc định lí Miquel, đặc thù liên quan tiền và một trong những bài tập áp dụng. Hãy dành thời gian chia sẻ để nắm chắc chắn hơn về chuyên đề này để áp dụng giải một số trong những bài toán tương quan cực nhanh bạn nhé !
I. ĐỊNH LÍ MIQUEL LÀ GÌ ?
Định lí Miquel là định lí được đặt theo tên Auguste Mique nói tới ba đường tròn mỗi con đường tròn đi qua 2 điểm trên nhì cạnh của tam giác và một đỉnh bình thường của nhì cạnh đó.
Bạn đang xem: Tứ giác toàn phần
Bạn đã xem: Định lí Miquel, các đặc thù liên quan và một vài bài tập áp dụng
Định lí:
Cho tam giác ABC, với các điểm A´, B´ và C´ lần lượt trên các cạnh BC, AC, và AB khi đó con đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB´C´, A´BC´, và A´BC’ vẫn đồng quy tại điểm M gọi là vấn đề Miquel
– nếu A’, B’,C’ lần lượt là trung điểm những cạnh BC, AC cùng AB thì điểm Miquel là chổ chính giữa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
– trường hợp A’, B’, C’ là theo lần lượt là chân hình chiếu của A, B, C trên BC, AC , AB thì điểm Miquel là trực trung tâm của tam giác ABC
II. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH LÍ MIQUEL
Định lí Miquel có các đặc điểm sau:
Tính chất 1. mang lại tứ giác toàn phần ABCDEF. Khi đó đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABF, DCF, BCE, ADE đồng quy.
Tính chất 2. Tâm của các đường tròn ngoại tiếp những tam giác CBE, CDF, ADE, ABF cùng điểm Miquel M cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn này được hotline là đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần.
Tính chất 3. Chân những đường vuông góc hạ tự điểm Miquel M lên các đường thẳng AB, BC, CD, DA thuộc nằm trên một con đường thẳng – con đường thẳng Simson.
Tính hóa học 4. Điểm Miquel M là chổ chính giữa vị tự cù của tứ giác ABCD, tức thị tồn tại các phép vị tự quay trung tâm M đổi mới AB thành CD, AD thành BC.
Tính hóa học 5 (Định lí Emelyanov). điện thoại tư vấn X = AC ∩ BD,Y = BD ∩ EF, Z = EF ∩ AC. M là vấn đề Miquel của tứ giác toàn phần ABCDEF. Khi đó M nằm trên tuyến đường tròn Euler của tam giác XYZ.
Tính chất 6 (Định lí Mannheim). Mang lại tam giác ABC. Call D, E, F theo lần lượt là các điểm nằm trên BC, CA, AB ko trùng cùng với A, B, C.M là vấn đề Miquel của D, E, F ứng cùng với tam giác ABC.P, Q, R lần lượt là những điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp những tam giác DEF, BFD, CDE ( những điểm P.Q.R ko trùng với M).
Khi đó:
a. M, P, Q, R thẳng sản phẩm khi còn chỉ khi AP, BQ, CR song một song song.b. M, P, Q, R đồng viên khi và chỉ còn khi AP, BQ, CR đồng quy
Tính chất 7. đến tam giác ABC nội tiếp mặt đường tròn (O). H là 1 trong điểm bất kì trong tam giác. Một đường thẳng bất kể qua H cắt AC, ba lần lượt tại M, N. Bên trên BC lấy những điểm P, Q làm thế nào cho MP k BH, NQ k CH. NQ giảm MP tại R.NQ giảm AC trên X. Chứng minh rằng NXCBAQ, CQRMPX bao gồm chung điểm Miquel.
Tính hóa học 8. đến tứ giác toàn phần ABCDEF. M là điểm Miquel của tứ giác toàn phần. Những tiếp đường tại M của các đường tròn (FAB),(EBC),(DCF),(EAD) theo thứ tự cắt các đường trực tiếp AB, BC, CD, domain authority tại X,Y, Z, W.a. Hai tuyến đường tròn (FWY),(EXZ) tiếp xúc với nhau trên M.b. Vào trường đúng theo tứ giác ABCD không nội tiếp, thì X,Y, Z, W đồng viên.c. Trong trường hòa hợp tứ giác ABCD nội tiếp, thì X,Y, Z, W trực tiếp hàng.
III. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ MIQUEL GIẢI BÀI TẬP
1. Bài bác tập có lời giải
Bài 1: mang lại tam giác ABC. điện thoại tư vấn P.Q là những điểm bất cứ trên cạnh BC làm thế nào để cho BP = CQ và phường nằm thân B, Q. Đường tròn nước ngoài tiếp tam giác APQ cắt những đoạn AB, AC theo lần lượt tại E, F.EP, FQ giảm nhau tại T. Hai tuyến phố thẳng trải qua trung điểm của BC và song song với AB, AC lần lượt cắt EP, FQ tại X,Y. Minh chứng rằng con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác TXY xúc tiếp với mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác APQ.
Lời giải: gọi M là trung điểm của đoạn BC, S là giao điểm lắp thêm hai của con đường thẳng AM với đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.Do MX // AB yêu cầu Góc MXP =góc MXE = góc BEP= góc PSA = góc PSM Suy ra tứ giác MSXP nội tiếp. Cho nên S thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác PMX. Giống như do MY // AC bắt buộc Góc MYQ = góc MYF = góc QFC = góc ASQ = góc MSQ
Suy ra tứ giác MSYQ nội tiếp. Cho nên S thuộc mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác QMY. Từ phía trên suy ra S trực thuộc cả hai tuyến phố tròn ngoại tiếp những tam giác PMX, QMY, buộc phải theo định lí Miquel thì S thuộc con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác TXY.
Do MX k BE, MY k FC, cần suy ra MX/BE =MP/BP =MQ/CQ =MY/FC ⇒MX/MY =BE/CF (1) với BE.BA = BP.BQ = CQ.CP = CF.CA ⇒ BE/CF =AC/AB. (2)Từ (1) và (2) suy ra MX/MY =AC/AB.Lại bao gồm Góc XMY = góc XMS + góc SMY = góc BAS + góc CAS = góc A.
Do đó ∆ABC ∼ ∆MYX(c.g.c) ⇒ góc acb = góc QMY = góc QSY =góc MXY = MXS + SXY = QPS + SXY ⇒ góc QSY = góc QPS + SXY Từ phía trên suy đi ra ngoài đường tròn nước ngoài tiếp tam giác TXY tiếp xúc với con đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.
Bài 2: đến tam giác ABC bao gồm điểm D dịch chuyển trên cạnh BC. Dựng E, F lần lượt trên AC và AB sao cho BF = CD, CE = BD. Phường à giao điểm sản phẩm hai của hai đường tròn nước ngoài tiếp các tam giác BDF, CDE. Minh chứng rằng mãi sau điểm Q cố định sao đến độ dài PQ là hằng số.
Lời giải. Call I là trung ương đường tròn nội tiếp tam giác ABC. G là điểm trên BC sao cho CG = BD.
Nhận thấy: G, E đối xứng với nhau qua IC suy ra IE = IG = IF. Tam giác AEF gồm I là giao phân giác góc EAF < cùng trung trực đoạn EF. Vậy I nằm trê tuyến phố tròn nước ngoài tiếp tam giác AEF.
Theo định lí Miquel ta gồm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF trải qua điểm p Gọi Y là giao điểm đồ vật hai của mặt đường thẳng BI với đường tròn nước ngoài tiếp tam giác BDF, Z là giao điểm máy hai của con đường thẳng C I với con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác CDE.Ta cóYF = YD, FB = DC, góc YFB = góc YDC
Suy ra ∆YFB = ∆YDC ⇒ YB = YC. Chứng tỏ tương từ ta bao gồm ZB = ZC . Vậy Y, Z là giao của trung trực đoạn BC cùng với IB, IC. Suy ra Y, Z cố kỉnh định. Áp dụng tính chất 6 ta gồm I,Y, Z, p. đồng viên. Vậy phường nằm trên tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IYZ cầm định. Hotline Q là trung tâm của đường tròn này, ta có PQ cố kỉnh định, không phụ thuôc vào địa điểm của D.
Bài 3:Cho tứ giác ABCD nội tiếp con đường tròn (O) và ABCD không hẳn là hình thang. Gọi E là giao điểm của AC và BD, P là 1 điểmthuộc đường thẳng OE. Đường tròn nước ngoài tiếp tam giác PAD với PBC cắt nhau trên điểm máy hai Q.
a. Chứng minh rằng Q thuộc một mặt đường tròn thắt chặt và cố định khi p di chuyển.
b. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB, PCD cắt nhau trên điểm thứ hai R. Triệu chứng minhrằng mặt đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định khi p. Di chuyển.
Lời giải.
a. Gọi M là giao điểm của AD cùng BC, N là giao điểm của AB cùng CD. Gọi F là giao điểm của OE với MN. Theo nhận xét bên trên ta bao gồm OF⊥MN cùng F là điểm Miquel của tứ giác toàn phần ABCDMN. Từ kia ta bao gồm tứ giác FDAN nội tiếp.
Theo tính chất phương tích ta có P, Q, M thẳng hàng.
Ta tất cả MF.MN = MA.MD = MQ.MP, suy ra tứ giác PQFN nội tiếp. Vì vậy góc NQP = góc NFP = 900 . Vậy Q thuộc con đường tròn đường kính MNcố định.
b. Tương tự như câu a, ta gồm MR⊥NP tại R. Xét tam giác PMN có các đường cao MR, NQ, PF đồng quy.Gọi L là giao điểm của QR với MN. Ta có (LF, MN) = −1 , cơ mà M, N, F thắt chặt và cố định nên L gắng định. Vậy QR luôn luôn đi qua điểm L chũm định.
2. Bài bác tập trường đoản cú luyện thêm
Bài 1: mang lại tam giác ABC nội tiếp con đường tròn (O), trực trung khu H. Trung đường AM cắt (O) lần sản phẩm công nghệ hai tại N.AH cắt (O) tại K. Các đườngthẳng KN, BC và mặt đường thẳng qua H vuông góc cùng với AN cắt nhau tạo thành thành tam giác XYZ. Minh chứng rằng (XYZ) xúc tiếp với (O).
Bài 2. Cho tam giác ABC. Một mặt đường tròn Oa qua B, C giảm AC, AB theo thứ tự tại E, F.BE giao CF tại phường Gọi M là trung điểm của BC, L đối xứng với K qua M. Những đường thẳng PK, QL, BC cắt nhau sản xuất thành tam giác XYZ. Chứng tỏ rằng (XYZ) xúc tiếp với (ABC).
Bài 3. mang đến tam giác ABC nội tiếp mặt đường tròn (O). Call A0 là điểm đối xứng của A qua O. Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BA0 , CA0lần lượt trên L với K. Những đường thẳng qua L vuông góc cùng với BA0, qua K cùng vuông góc với CA0 và con đường thẳng OM cắt nhau tạothành tam giác XYZ. Gọi p. Là giao của nhì tiếp con đường tại B cùng C của (O). Chứng minh rằng (AMP) tiếp xúc với (XYZ).
Bài 4. mang đến tứ giác lưỡng vai trung phong ABCD bao gồm tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp là O. Call E, F thứu tự là giao điểm của AB cùng CD, AD với BC. Minh chứng rằng mãi mãi môt mặt đường tròn chổ chính giữa O xúc tiếp với tứ đường tròn nước ngoài tiếp các tam giác EAD, EBC, FAB, FCD.
Xem thêm: Nguồn Gốc Và Ý Nghĩa Trứng Phục Sinh Một Trong, Ý Nghĩa Trứng Phục Sinh Là Gì
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cùng với trực trung tâm H. Hai tuyến phố thẳng d1 cùng d2 bất cứ vuông góc cùng nhau và trải qua H.d1 cắt BC, CA, AB theo thứ tự tại X1,Y1, Z1. GọiA1B1C1 là tam giác chế tạo ra bởi các đường trực tiếp qua X1 cùng vuông góc cùng với BC, qua Y1 với vuông góc CA, qua Z1 cùng vuông góc cùng với AB. Tương tự ta khẳng định được tam giác A2B2C2. Minh chứng rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1B1C1 và A2B2C2 tiếp xúc với nhau trên một điểm bên trên (O).