1. Một số công thức đạo hàm cao cấp của hàm số thường gặp
$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$
2. Cách làm Lepnit tính đạo hàm cấp cao của hàm số tích
Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ có đạo hàm đến cung cấp $n$ lúc ấy $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$
3. Các ví dụ minh hoạ
Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$
Giải. Ta có:
$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$
Giải. Ta có
$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$
Do kia $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong các số ấy $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$
Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$
Câu 4.
Bạn đang xem: Tính đạo hàm cấp n
Tính đạo hàm cấp cao $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$
Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$
Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$
Câu 5. Tính đạo hàm v.i.p $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$
Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào để rút gọn.
Cách 2:Ta bao gồm $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp n hai vế có:
$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$
Câu 6. Tính đạo hàm cao cấp $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$
Do đó $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và
$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$
Hiện trên temperocars.com xây đắp 2 khoá học Toán thời thượng 1 với Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương thức giải bài tập những dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng trường đoản cú luận gồm lời giải cụ thể tại website để giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn là kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong các trường gớm tế.
Xem thêm: Respective Là Gì, Nghĩa Của Từ Respective, Từ: Respective
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được full bộ này:
- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH thương Mại
- học viện Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế tài chính ĐH tổ quốc Hà Nội
và những trường đại học, ngành tài chính của các trường ĐH khác trên mọi cả nước...