Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật

Bài viết trình diễn công thức tính thể tích khối hộp và một số trong những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNGHình hộp: là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.Hình hộp bao gồm $6$ phương diện là hình bình hành, $4$ đường chéo đồng qui tại trung tâm hình hộp.Thể tích của khối hộp bởi tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối hộp đó.Hình vỏ hộp chữ nhật: là hình vỏ hộp đứng và tất cả đáy là hình chữ nhật.Gọi $a$, $b$, $c$ là $3$ kích thước thì gồm đường chéo: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2 $, diện tích s toàn phần: $S = 2(ab + bc + ca)$ và thể tích khối vỏ hộp chữ nhật: $V = abc.$Hình lập phương: là hình hộp chữ nhật bao gồm $3$ size bằng nhau.Gọi $a$ là cạnh hình lập phương thì gồm đường chéo: $d = asqrt 3 $, diện tích s toàn phần: $S = 6a^2$ và thể tích khối lập phương: $V = a^3.$

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNGBài toán 1: Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$, hiểu được $AA’B’D’$ là khối tứ diện hầu như cạnh $a.$

Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều phải đường cao $AH$ của nó tất cả hình chiếu $H$ là trung khu của tam giác số đông $A’B’D’.$Suy ra: $A’H = fracasqrt 3 3$, $AH = sqrt AA‘^2 – A"H^2 = fracasqrt 6 3.$Ta bao gồm đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi gồm góc $B’A’D’$ bằng $60°$ nên:$S_A’B’C’D’ = A’B’.A’D’sin 60^0 = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy thể tích khối hộp đã đến là: $V = S.h = fraca^2sqrt 3 2 cdot fracasqrt 6 3 = fraca^3sqrt 2 2.$

Bài toán 2: đến khối vỏ hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có tất cả các cạnh đều nhau và bởi $a$, $widehat A_1AB = widehat BAD = widehat A_1AD = alpha $ $left( {0^0 Tam giác $A_1BD$ cân nặng (do $A_1B = A_1D$).Suy ra $BD ot A_1O.$Mặt không giống $BD ot AC.$Suy ra: $BD ot left( A_1AO ight)$ $ Rightarrow BD ot A_1H.$Do kia $A_1H ot (ABCD).$Đặt $widehat A_1AD = varphi .$Hạ $A_1K ot AD$ $ Rightarrow HK ot AK$.Ta có: $cos varphi .cos fracalpha 2 = fracAHAA_1 cdot fracAKAH = fracAKAA_1$ $ = cos varphi $ đề xuất $cos varphi = fraccos alpha cos fracalpha 2.$Do đó: $A_1H = asin varphi $ $ = asqrt 1 – fraccos ^2alpha cos ^2fracalpha 2 $ $ = fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$$V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = AB.AD.sin alpha .A_1H$ $ = a^2sin alpha .fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha $ $ = 2a^3sin fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$

Bài toán 3: đến khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = sqrt 3 $, $AD = sqrt 7 $ và các ở bên cạnh bằng $1.$ nhì mặt bên $(ABB’A’)$ và $(ADD’A’)$ lần lượt tạo ra với đáy phần đa góc $45°$ cùng $60°.$ Hãy tính thể tích khối hộp.

Xem thêm: Các Nhân Tố Ảnh Hưởng Đến Lượng Mưa ?? Cảm Ơn Mọi Người Những Nhân Tố Ảnh Hưởng Đến Lượng Mưa

Hạ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AD$, $HK ot AB.$Ta có: $AD ot A’M$, $AB ot A’K.$$ Rightarrow widehat A’MH = 60^0$, $widehat A’KH = 45^0.$Đặt $A’H = x.$Khi đó:$A’M = x:sin 60^0 = frac2xsqrt 3 .$$AM = sqrt AA‘^2 – A"M^2 $ $ = sqrt frac3 – 4x^23 = HK.$Mà $HK = xcot 45^0 = x$ buộc phải $x = sqrt frac3 – 4x^23 Rightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt frac37 = 3.$

Bài toán 4: cho khối lăng trụ tứ giác phần đông $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ cùng $A_1D$ bằng $2$ cùng độ lâu năm đường chéo cánh của phương diện bên bằng $5.$a) Hạ $AK ot A_1D$ $left( K in A_1D ight).$ chứng minh rằng: $AK = 2.$b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A_1B_1C_1D_1.$

a) $AB//A_1B_1$ $ Rightarrow AB//left( A_1B_1D ight).$$ Rightarrow dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight).$Ta có: $A_1B_1 ot left( AA_1D_1D ight)$ $ Rightarrow A_1B_1 ot AK.$Mặt khác: $A_1D ot AK$ $ Rightarrow AK ot left( A_1B_1D ight).$Vậy $AK = dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight) = 2.$b) Xét tam giác vuông $A_1AD$, ta có: $AK^2 = A_1K.KD.$Đặt $A_1K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4.$Với $x = 1$, $AD = sqrt AK^2 + KD^2 = 2sqrt 5 $, $AA_1 = sqrt A_1D^2 – AD^2 = sqrt 5 .$Khi đó $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 20sqrt 5 .$Với $x = 4$, tương tự ta có: $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 10sqrt 5 .$

Bài toán 5: cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng $d$ và bố góc của đỉnh $A$ đều bằng $60°.$a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích $V$ của hình hộp.b) Tính khoảng cách giữa nhị mặt song song của hình hộp.c) có thể cắt hình hộp bằng một khía cạnh phẳng thế nào cho thiết diện thừa nhận được là một trong những hình vuông?

a) Đặt $overrightarrow AA’ = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$, $overrightarrow AD = vec c$ thì $vec a.vec b = vec b.vec c = vec c.vec a = fracd^22.$Ta có: $overrightarrow AC‘^2 = (vec a + vec b + vec c)^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 + 2vec a.vec b + 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 6d^2.$Suy ra: $AC’ = dsqrt 6 .$Ta có: $overrightarrow BD’ ^2 = (overrightarrow a – overrightarrow b + overrightarrow c )^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 – 2vec a.vec b – 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 2d^2.$Suy ra: $BD’ = dsqrt 2 .$Tương từ bỏ $DB’ = CA’ = dsqrt 2 $ phải ta bao gồm $AA’BD$ là hình tứ diện số đông cạnh $d$, nên: $V_left( AA’BD ight) = fracd^3sqrt 2 12.$Do đó $V = 6V_AA’BD = fracd^3sqrt 2 12.$b) call $h$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A’B’C’D’)$ thì:$V = S_ABCD.h = fracd^2sqrt 3 2$ $ Rightarrow h = fracdsqrt 6 2.$Tương tự thì các khoảng cách giữa nhì mặt tuy vậy song nào cũng bằng $fracdsqrt 6 2.$c) Hình bình hành $BCD’A’$ có những cạnh bởi $d$ với hai đường chéo bằng $dsqrt 2 $ vì thế nó là hình vuông.Vậy hình hộp có thiết diện $BCD’A’$ là hình vuông.Tương tự tiết diện $CDA’B’$ cũng chính là hình vuông.

Bài toán 6: cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy là hình vuông cạnh bởi $asqrt 3 $, $A$ biện pháp đều $A$, $B$, $C$, $D.$ Biết rằng khoảng cách từ trung tâm $G$ của tam giác $AB’D’$ cho mặt phẳng $(AA’D’)$ bởi $fraca2.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã đến và khoảng cách từ tâm $O$ của hình vuông vắn $A’B’C’D’$ cho mặt phẳng $(ADC’B’).$

Vì $G$ là trung tâm của tam giác $AB’D’$ cần $G$ nằm tại đoạn thẳng $AO$ cùng $AG = frac23AO.$Ta có: $dleft( O;left( AA’D ight) ight) = frac32d(G,(AA’D)) = frac3a4.$Gọi $M$ là trung điểm của $A’D’.$Hạ $OH ot AM$ thì $OH ot left( AA’D’ ight).$Do kia $OH = dleft( O;left( AA’D’ ight) ight) = frac3a4.$Tam giác $AOM$ vuông trên $O:$$frac1OH^2 = frac1OA^2 + frac1OM^2$ $ Leftrightarrow frac169a^2 = frac1OA^2 + frac43a^2$ $ Rightarrow OA = frac3a2.$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.OA = 3a^2.frac3a2 = frac9a^32.$Gọi $N$ là trung điểm của $B’C’.$ Hạ $OK ot AN.$Ta có $OK ot left( ADC’B’ ight)$ cần $OK = dleft( O,left( ADC’B’ ight) ight).$Tam giác $AON$ vuông tại $O:$$frac1OK^2 = frac1OA^2 + frac1ON^2$ $ = frac49a^2 + frac43a^2 = frac169a^2$ $ Rightarrow OK = frac3a4.$Vậy khoảng cách từ trung tâm $O$ của hình vuông $A’B’C’D’$ cho mặt phẳng $(ADC’B’)$ là $OK = frac3a4.$

Bài toán 7: cho hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ gồm đáy là hình chữ nhật. $AB = asqrt 3 $, $AA’ = AC = 2asqrt 3 .$ Hình chiếu của $B$ lên phương diện phẳng $(A’B’C’D’)$ là trung điểm $O$ của $B’D’.$ Tính thể tích khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ cùng cosin của góc giữa hai tuyến đường thẳng $AC$ và $BB’.$

Ta bao gồm $O$ là trọng tâm của hình chữ nhật $A’B’C’D’$ buộc phải $BO ot left( A’B’C’D’ ight).$Tam giác vuông $ABC:$$BC = sqrt AC^2 – AB^2 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Tam giác vuông $BOB’$ ta có:$BO = sqrt BB‘^2 – B"O^2 $ $ = sqrt BB‘^2 – fracAC^24 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Nên $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.BO = AB.BC.BO$ $ = asqrt 3 .3a.3a = 9a^3sqrt 3 .$Ta tất cả $cos left( AC,BB’ ight) = cos left( A’C’,AA’ ight) = left| cos widehat AA’O ight|.$Vì $BO ot (ABCD) Rightarrow BO ot AB.$Tam giác $ABO$ vuông cân tại $B:$ $AO = sqrt AB^2 + BO^2 $ $ = sqrt 3a^2 + 9a^2 = 2asqrt 3 .$Áp dụng định lý cosin vào tam giác $AA’O$ ta có:$cos widehat AA’O = fracA"A^2 + A"O^2 – AO^22A’A.A’O$ $ = frac12a^2 + 3a^2 – 12a^22.2asqrt 3 .asqrt 3 = frac14.$Vậy $cos left( AC,BB’ ight) = frac14.$

Bài toán 8: đến hình vỏ hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình bình hành, $AB = 2a$, $BC = a$, $widehat BAD = 60^0$, góc giữa mặt đường thẳng $B’C$ với mặt phẳng $(ACC’A’)$ bởi $30°.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$, $DD’$ với $M$ là trung điểm của $CC’.$

Hạ $BH ot A’C’$ thì tất cả $BH ot left( ACC’A’ ight).$Từ đó suy ra góc giữa $B’C$ cùng mặt phẳng $left( ACC’A’ ight)$ bằng $widehat B’CH.$Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ ta có:$AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2.BC.BAcos 120^0$ $ = a^2 + 4a^2 – 2a.2aleft( – frac12 ight) = 7a^2.$Suy ra $AC = asqrt 7 .$Ta có: $B’H = frac2S_A’B’C’A’C’ = fracB’A’.B’C’.sin 120^0A’C’$ $ = fraca.2a.fracsqrt 3 2asqrt 7 = fracasqrt 21 7.$Tam giác vuông $B’CH:$ $B’C = fracB’Hsin 30^0 = frac2asqrt 21 7.$Tam giác vuông $BB’C:$ $BB’ = sqrt B"C^2 – BC^2 $ $ = sqrt frac84a^249 – a^2 = fracasqrt 35 7.$Nên: $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.ADsin 60^0.AA’$ $ = 2a.a.fracsqrt 3 2.fracasqrt 35 7 = fraca^3.sqrt 105 7.$Ta có $AM$ tuy nhiên song với $(ACC’A’).$Do đó $dleft( DD’,AM ight)$ $ = dleft( DD’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( D’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( B’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = B’H = fracasqrt 21 7.$