Thông qua bài học những em sẽ nạm được khái niệm, các đặc điểm của nguyên hàm. Trong khi bài học còn reviews đến các em công thức tìm kiếm nguyên hàm của một trong những hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp đổi biến đổi số và phương pháp nguyên hàm từng phần.

Bạn đang xem: Nguyên hàm lớp 12


1. đoạn clip bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Nguyên hàm và tính chất

2.2. Các cách thức tính nguyên hàm

3. Bài xích tập minh hoạbài 1 Chương 3 Toán 12

4. Rèn luyện Bài 1 Chương 3 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm về nguyên hàm

4.2 bài bác tập SGK và nâng cao về nguyên hàm

5. Hỏi đáp về bài xích 1 Chương 3 Toán 12


a) định nghĩa nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng tầm hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của(mathbbR.)

Định nghĩa:

Cho hàm số (f(x))xác định trên K.

Hàm số (F(x))được gọi là nguyên hàm của hàm số (f(x)) bên trên K trường hợp (F"(x) = f(x))với mọi(x in K.)

Định lý 1:

Nếu (F(x)) là một trong nguyên hàm của hàm số (f(x)) bên trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số (G(x) = F(x)+C)cũng là 1 trong những nguyên hàm của hàm số (f(x))trên K.

Định lý 2:

Nếu (F(x)) là 1 trong nguyên hàm của hàm số (f(x))trên K thì đầy đủ nguyên hàm của (f(x)) trên K đều sở hữu dạng (F(x)+C) cùng với (C)là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu bọn họ nguyên hàm của hàm số (f(x)) là (int f(x)dx.)

Khi kia :(int f(x)dx=F(x)+C,Cin mathbbR.)

b) Tính chấtTính chất 1:(int f"(x)dx=f(x)+C,Cin mathbbR.)Tính hóa học 2:(int fk(x)dx=kint f(x)dx)(với k là hằng số không giống 0).

Xem thêm: Dàn Bài Nhiễu Điều Phủ Lấy Giá Gương Người Trong Một Nước Phải Thương Nhau Cùng

Tính chất 3:(int left( f(x) pm g(x) ight)dx = int f(x)dx pm int g(x)dx.)c) Sự trường thọ của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số f(x) tiếp tục trên K đều sở hữu nguyên hàm trên K.

d) Nguyên hàm của một vài hàm số thường gặpNguyên hàm của những hàm số sơ cung cấp thương gặp:(int kdx = kx + C,,k in mathbbR)(int x^alpha dx = frac11 + alpha .x^alpha + 1 + C,(alpha e - 1))(int + C)(int fracdxsqrt x = 2sqrt x + C)(int e^xdx = e^x + C)(int {a^xdx = fraca^xln a + C,,(0 (int cos xdx = sin x + C)(int sin xdx = - cos x + C)(int fracdxcos ^2x = an x + C)(int fracdxsin ^2x = - cot x + C)Ngoài ra còn tồn tại một số bí quyết thường chạm mặt khác:(int ( max + b)^kdx = frac1afrac m(ax + b)^k + 1k + 1, + C,,(a e 0,,k e - 1))(int frac1 max + bdx = frac1aln left + C,,a e 0)(int e^ max + bdx = frac1ae^ max + b + C)(int c mos( max + b)dx = frac1asin ( max + b) + C)(int sin ( max + b)dx = - frac1ac mos( max + b) + C)
a) phương pháp đổi biến hóa số

Định lí 1:

Cơ sở của cách thức đổi biến đổi số là định lý sau: mang lại hàm số (u = u(x))có đạo hàm và tiếp tục trên K với hàm số (y = f( mu))liên tục làm sao để cho (f)xác định bên trên K. Khi đó nếu (F)là một nguyên hàm của (f), tức là (int f(u)du = F(u) + C)thì (int fdx = F + C.)

Hệ quả:

Với(u = ax + b,(a e 0),)ta có:

(int f(ax + b)dx = frac1aF(ax + b) + C)

b) cách thức tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2:

Nếu hai hàm số(u=u(x))và(v=v(x))có đạo hàm và liên tục trên K thì:

(int u(x)v"(x)dx = u(x)v(x) - int u"(x)v(x)dx)

Một số dạng hay gặp:

Dạng 1:(int P(x).e^ max + bdx,,,,int P(x)sin ( max + b)dx,,,int P(x)c mos( max + b)dx )

Cách giải: Đặt(u = P(x),,,dv = e^ max + bdx,)hoặc(dv = sin (ax + b)dx,,,dv = cos (ax + b)dx.)

Dạng 2:(int P(x)ln ( max + b)dx)

Cách giải: Đặt(u = ln ( max + b),,,dv = P(x)dx.)


Áp dụng phương pháp nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau:

a)(I = int x^8dx)

b)(I=int left ( x^2+2x ight )^2dx)

c)(I=int frac1x^5dx)

d)(I=intfrac12xdx)

Lời giải:

a)(I = int x^8dx = frac19x^9 + C)

b)(I = int left( x^2 + 2x ight)^2dx = int left( x^4 + 4x^3 + 4x^2 ight)dx = frac15x^5 + x^4 + frac43x^3 + C )

c)(I = int fracdxx^5 = int x^ - 5dx = frac1 - 5 + 1x^ - 5 + 1 + C = - frac14x^ - 4 + C)

d)(I = int fracdx2x = frac12int + C)

Ví dụ 2:

Dùng phương thức đổi thay đổi số tính các nguyên hàm sau:

a)(I = int sqrt x^2004 + 1 .x^2003dx)

b)(I = int e^e^x + xdx)

c)(I = int e^2x^2 + ln mxdx)

d)(I = int fracxsqrt<10>x + 1 dx)

e)(I=int fracsin x.cos ^3x1 + cos ^2xdx)

Lời giải:

a) Đặt:(t = x^2004 + 1 Rightarrow dt = 2004x^2003dx Rightarrow x^2003dx = frac12004dt.)

Từ kia ta được:

(I = frac12004int sqrt t dt = frac12004int t^frac12dt = frac12004.frac23t^frac32 + C)

(= frac13006sqrt t^3 + C = frac13006sqrt left( x^2004 + 1 ight)^3 + C)

b) Ta có:(e^e^x + x = e^e^x.e^x)

Đặt:(e^x = t Rightarrow e^xdx = dt)

Từ đó ta được:

(I = int e^tdt = int e^tdt = e^t + C = e^e^x + C)

c) Ta có:(M = int e^2x^2.e^ln xdx = int e^2x^2.xdx)

Đặt:(2x^2 = t Rightarrow 4xdx = dt Rightarrow xdx = fracdt4)

Ta được:(M = int e^tfracdt4 = frac14e^t + C = frac14e^2x^2 + C.)

d)(I = int fracxsqrt<10>x + 1 dx)

Đặt:(sqrt<10>x + 1 = t Rightarrow x + 1 = t^10 Rightarrow dx = 10t^9dt)

Ta được:

(eginarrayl N = int fract^10 - 1t.10t^9dt = 10int left( t^10 - 1 ight)t^8dt \ = 10int left( t^18 - t^8 ight)dt = frac1019t^19 - frac109t^9 + C endarray)

(, = frac1019sqrt<10>left( x + + 1 ight)^19 - frac109sqrt<10>left( x + 1 ight)^9 + C)

e) Ta có:(I = int fracsin x.cos ^3x1 + cos ^2xdx = frac12int frac2sin xcos x.cos ^2x1 + cos ^2x dx = frac12int fraccos ^2x1 + cos ^2x.sin 2xdx)

Đặt:(1 + cos ^2x = t Rightarrow sin 2xdx = - dt)

(Rightarrow S = - frac12int fract - 1tdt = - frac12int dt + frac12int fracdtt = - frac12t + frac12ln left)

Ví dụ 3:

Dùng cách thức nguyên hàm từng phần tính những nguyên hàm sau:

a)(I = int x msin2xdx)

b)(I = int x^2e^2xdx)

c) (I = int left( 2x^2 + x + 1 ight)e^xdx)

d)(I = int xcos ^22xdx)

Lời giải:

a) Đặt(left{ eginarrayl u = x\ dv = sin 2xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = dx\ v = - frac12cos 2x endarray ight.)

(Rightarrow I = - frac12xcos 2x + frac12int cos 2xdx = - frac12xcos 2x + frac14sin 2x + C)

b) Đặt:(left{ eginarrayl u = x^2\ dv = e^2xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = 2xdx\ v = frac12e^2x endarray ight.)(Rightarrow I = frac12x^2e^2x - int xe^2xdx = frac12x^2e^2x - I_1)

Tính(I_1 = int xe^2xdx)

Đặt:(left{ eginarrayl u = x\ dv = e^2xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12e^2x endarray ight.)

(Rightarrow I_1 = frac12xe^2x - frac12int e^2xdx = frac12xe^2x - frac14e^2x + C)

Vậy:(I = frac12x^2e^2x - frac12xe^2x + frac14e^2x + C = fracleft( 2x^2 - 2x + 1 ight)e^2x4 + C)

c) Đặt:(left{ eginarrayl u = 2x^2 + x + 1\ dv = e^xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = left( 4x + 1 ight)dx\ v = e^x endarray ight.)

(Rightarrow I = left( 2x^2 + x + 1 ight)e^x - int left( 4x + 1 ight)e^xdx)

Tính:(I_1 = int left( 4x + 1 ight)e^xdx)

Đặt: (left{ eginarrayl u = 4x + 1\ dv = e^xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = 4dx\ v = e^x endarray ight.)

(Rightarrow I_1 = left( 4x + 1 ight)e^x - 4int e^xdx = left( 4x + 1 ight)e^x - 4e^x + C = left( 4x - 3 ight)e^x + C)

(Rightarrow I = left( 2x^2 + x + 1 ight)e^x - left( 4x - 3 ight)e^x + C = left( 2x^2 - 3x + 4 ight)e^x + C)

d)

(eginarrayl I = int xcos ^22xdx = int x.frac1 + cos 4x2 dx\ = frac12int xdx + int frac12xcos 4xdx = frac14x^2 + I_1 endarray)

Tính(I_1 = int frac12xcos 4xdx)

Đặt:(left{ eginarrayl u = frac12x\ dv = cos 4xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac12dx\ v = frac14sin 4x endarray ight.)

(Rightarrow I_1 = frac18xsin 4x - frac18int sin 4xdx = frac18xsin 4x + frac132cos 4x + C)