Lý thuyết giới hạn của hàm số lớp 11 gồm kim chỉ nan chi tiết, ngăn nắp và bài bác tập trường đoản cú luyện có lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh nắm vững kỹ năng trọng vai trung phong Toán 11 bài 2: số lượng giới hạn của hàm số.
Bạn đang xem: Lý thuyết giới hạn hàm số
Lý thuyết Toán 11 bài xích 2: giới hạn của hàm số
Bài giảng Toán 11 bài 2: số lượng giới hạn của hàm số
A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng tầm K cất điểm x0và hàm số y = f(x) xác minh trên K hoặc trên K x0.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L lúc x dần dần tới x0nếu với hàng số (xn) bất kì, xnK x0 với xn→ x0, ta gồm f(xn) → L.
Kí hiệu:limx→∞fx=L hay f(x) → L lúc x → x0.
Nhận xét:limx→∞x=x0,limx→∞c=cvới c là hằng số.
Ví dụ 1. mang lại hàm số fx=x3−8x−2. Minh chứng rằnglimx→2fx=12.
Giải
Hàm số xác định trênℝ2
Giả sử (xn) là 1 trong dãy số bất kì, thỏa mãnxn≠2 và xn→2khi n→+∞.
Ta có:
limfxn=limxn3−8xn−2=limxn−2xn2+2xn+4xn−2=limxn2+2xn+4=12.
Vậylimx→2fx=12.
2. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) trả sửlimx→x0fx=L và limx→x0gx=M. Khi đó:
limx→x0fx+gx=L+M;limx→x0fx−gx=L−M;limx→x0fx.gx=L.M;limx→x0fxgx=LMM≠0;
b) ví như fx≥0và limx→x0fx=Lthì L≥0 vàlimx→x0fx=L.
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tầm đang tìm số lượng giới hạn với x≠x0).
Ví dụ 2. mang đến hàm số fx=1−xx−42. Tínhlimx→4fx.
Giải
Ta có:
limx→41−x=−30, limx→4x−42=0⇒limx→4fx=limx→41−xx−42=−∞
3. Số lượng giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- mang lại hàm số y = f(x) xác minh trên (x0; b).
Số L được gọi là số lượng giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0nếu với dãy số (xn) bất kì, x0nn→ x0, ta bao gồm f(xn) → L.
Kí hiệu:limx→x0+fx=L
- mang lại hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là số lượng giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) lúc x → x0nếu với dãy số (xn) bất kì, a n0và xn→ x0, ta gồm f(xn) → L.
Kí hiệu:limx→x0−fx=L.
Định lí 2
limx→x0fx=L⇔limx→x0+f(x)=limx→x0−fx=L
Ví dụ 3. Cho hàm số fx=x+1 khi x≥02x khi x . Search limx→0+f(x);limx→0−f(x)và limx→0f(x)(nếu có).
Giải
Ta có:
limx→0+f(x)=limx→0+x+1=0;limx→0−f(x)=limx→0−2x=0;⇒limx→0+f(x)=limx→0−fx=0
Do đólimx→0f(x)=0.
Vậy limx→0+f(x)=limx→0−fx=0 vàlimx→0f(x)=0.
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3
a) mang lại hàm số y = f(x) khẳng định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn là số L lúc x → +∞ giả dụ với hàng số (xn) bất kì, xn> a với xn→ +∞, ta bao gồm f(xn) → L.
Kí hiệu:limx→+∞fx=L
b) mang lại hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ trường hợp với hàng số (xn) bất kì, xnn→ –∞, ta gồm f(xn) → L.
Kí hiệu:limx→−∞fx=L
Chú ý:
a) cùng với c, k là hằng số với k nguyên dương, ta luôn luôn có:
limx→+∞c=c;limx→−∞c=c; limx→+∞cxk=0;limx→−∞cxk=0.
b) Định lí 1 về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số lúc x → x0vẫn còn đúng vào khi xn→ +∞ hoặc x → –∞
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác minh trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn> a và xn→ +∞, ta tất cả f(xn) → –∞
Kí hiệu:limx→∞fx=−∞
Nhận xét:
limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞.
2. Một vài số lượng giới hạn đặc biệt
a) limx→+∞xk=+∞với k nguyên dương.
b) giả dụ k chẵn thì limx→−∞xk=+∞;
Nếu k lẻ thì limx→−∞xk=−∞.
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
b) luật lệ tìm giới hạn của thươngfxgx
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K như thế nào đó đã tính giới hạn, cùng với x≠x0)
Chú ý: các quy tắc bên trên vẫn đúng cho các trường hợp:
x→x0+,x→x0−;x→+∞;x→−∞.
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:
a) limx→∞x4−3x+8;
b)limx→1−5x−62x−2;
c)limx→−3+xx+3;
Giải
a)
limx→+∞x4−3x+8=limx→∞x41−3x3+8x4=limx→+∞x4.limx→+∞1−3x3+8x4=+∞
(Vì limx→+∞x4=+∞;limx→+∞1−3x3+8x4=1).
b)
limx→1−5x−62x−2=limx→1−5x−6:limx→1−2x−2=+∞
(Vì limx→1−5x−6=−10;limx→1−2x−2=0và 2x – 2
c)
limx→−3+xx+3=limx→−3+x:limx→−3+x+3=−∞
( vày limx→−3+x=−30;limx→−3+x+3=0và x + 3 > 0 với đa số x > - 3 ).
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính giới hạn các hàm số sau:
a)limx→1x−1x+3−2;
b)limx→+∞1−2x+3x3x3−9;
c)limx→01x21x2+1−1;
d)limx→−∞x2−11−2x5x3−9;
Lời giải
a)
limx→1x−1x+3−2=limx→1x−1x+3+2x+3−2x+3+2=limx→1x−1x+3+2x−1=limx→1x+3+2x+1=42=2
b)
limx→+∞1−2x+3x3x3−9=limx→+∞1x3−2x2+31−9x3 =31=3
c)
limx→01x21x2+1−1=limx→01x2.limx→01x2+1−1=0
( vị limx→01x2=∞;limx→01x2+1−1=0).
d)
limx→−∞x2−11−2x5x7+x+3=limx→−∞1−1x21x−251+1x6+3x7=−21=−2
Bài 2. sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) limx→21−2x4x+1;
b) limx→−∞3x2+4x2−2.
Lời giải
a) Xét hàm sốf(x)=1−2x4x+1
Tập khẳng định của hàm số: ℝ−14.
Giả sử (xn) là 1 trong những dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠−14và xn→2khi n→+∞. Ta có:
limxn→2f(xn)=limxn→21−2xn4xn+1=−39=−13.
Do đólimx→21−2x4x+1=−13.
b) Xétgx=3x2+4x2−2
Tập khẳng định của hàm số:ℝ±2
Giả sử (xn) là một trong dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠±2và xn→−∞khi n→+∞. Ta có:
limx→−∞gxn=limx→−∞3xn2+4xn2−2=3
⇒limx→−∞3x2+4x2−2=3.
Bài 3.
Xem thêm: Đề Thi Văn Học Kì 2 Lớp 8 Môn Ngữ Văn, Bộ Đề Thi Học Kì 2 Môn Ngữ Văn Lớp 8 Năm 2020
cho hàm số:fx=1x−1−3x3−1 khi x>1mx+2 khi x≤1
Với cực hiếm nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm số lượng giới hạn này.
Lời giải
Ta có:
limx→1+fx=limx→1+1x−1−3x3−1=limx→1+x2+x+1−3x−1x2+x+1=limx→1+x2+x−2x−1x2+x+1=limx→1+x−1x+2x−1x2+x+1=limx→1+x+2x2+x+1=33=1limx→1−fx=limx→1−mx+2=m+2
Để hàm số f(x) có số lượng giới hạn khi x→1 thìlimx→1+fx=limx→1−fx