Các dạng phương trình đựng căn bậc hai, bất phương trình cất căn thức bậc hai vẫn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong những kì thi học kì, thi tuyển chọn sinh vào lớp 10, thi THPTQG.
Bạn đang xem: Giải pt căn bậc 2
Để giải được phương trình, bất phương trình cất căn, các em học sinh cần nắm rõ kiến thức sau:
1. Hình thức chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
Nguyên tắc thông thường để khử vệt căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Mặc dù nhiên, để bảo đảm an toàn việc bình phương này cho họ một phương trình, bất phương trình mới tương tự thì rất cần được có điều kiện cả 2 vế pt, bpt phần đông không âm.
Do đó, về bản chất, họ lần lượt bình chọn 2 trường vừa lòng âm, cùng không âm của các biểu thức (thường là 1 trong vế của phương trình, bất phương trình đang cho).
2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa gốc rễ bản
Có khoảng 4 dạng phương trình cất căn, bất phương trình đựng căn cơ phiên bản đó là
3. Cách giải phương trình đựng căn, giải pháp giải bất phương trình đựng căn
Chi ngày tiết về phương thức giải các dạng phương trình, bất phương trình cất căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video clip sau đây.
4. Một vài ví dụ về phương trình với bất phương trình chứa căn thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$
Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm độc nhất $x = 3$.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với
<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình có nghiệm nhất $x=4$.
Ví dụ 3. Giải phương trình
Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$
Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm tuyệt nhất $x = 1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. & \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm tuyệt nhất $x = frac-86$.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$
Hướng dẫn. Bất phương trình đang cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.
Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. Và left( 2 ight)endarray ight.$$
Hệ bất phương trình (1) tương tự với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$Lấy vừa lòng tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left< 1;frac145 ight)$.
Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với
$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình vẫn cho tất cả nghiệm nhất $x = 0$.
Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$
Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign và 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ và 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$
Với đk đó, phương trình đã cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm $x=5$.
Ví dụ 10.
Xem thêm: Giải Toán Lớp 6 Bài 12: Tính Chất Của Phép Nhân Lớp 6, Tính Chất Của Phép Nhân
Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$
Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign và x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$
Với đk trên, bất phương trình đang cho tương đương với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>
Kết hợp với điều khiếu nại ta tất cả tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.
Xem các ví dụ khác nữa trên đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn