1. Định nghĩa về Ceva
Định lý Ceva là một trong những định lý thông dụng trong hình học cơ bản, được phát biểu như sau:
Khi ta mang đến tam giác ABC và các điểm D, E, F lần lượt ở trên các cạnh BC, CA, AB. Lúc ấy thì những đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi còn chỉ khi: DBDC.ECEA.FAFB=1
2. Minh chứng định lý Ceva
Giả sử ta vẫn có AD,BE,CF đồng quy trên điểm O
Khi đó ta bao gồm :
Vậy ta có điều bắt buộc chứng minh.
Bạn đang xem: Định lý xê va
3. Minh chứng định lý Ceva đảo
Giả sử ta đang có những điểm D,E,F thỏa mãn
Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO
Theo phần thuận minh chứng ở bên trên thì ta có :
Vậy F ≡ F′ hay nói theo một cách khác thì AD,BE,CF đồng quy
Như vậy ta đã minh chứng được cả hai phía của Đ/L Ceva. Trong một số trong những bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận cũng giống như chiều đảo của định lý để giải quyết và xử lý bài toán cấp tốc gọn.
Ví dụ: Cho tam giác ABC và mặt đường tròn vai trung phong I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BCm CA, AB theo lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Minh chứng rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.
Lời giải:
Xét tam giác ABC với 3 đoạn trực tiếp Ceva AD, BE, CF đồng quy. Call I, J, K theo đồ vật tự là trung điểm của chúng. M, N, p lần lượt là trung điểm của những cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Ta dễ dàng chứng tỏ được 3 điểm I, J, K nằm ở 3 cạnh của tam giác MNP. Trong tam giác MNP xét tỉ sốK
Từ kia theo định lí Ceva, ta tất cả MI, NJ, hành động đồng quy (đpcm)
4. Định lý Ceva dạng lượng giác
Một dạng khác của ĐL Ceva đó là định lý Ceva dạng lượng giác giỏi định lý Ceva dạng sin. Ceva dạng lượng giác hay được áp dụng cho bố đường thẳng mà những điểm khác đỉnh của tam giác ko nằm trên những cạnh của tam giác đó. Định lý được phát biểu như sau:
Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là cha điểm khớp ứng nằm trên bố cạnh BC,CA,AB của tam giác. Khi đó, tía đường thẳng AM,BN,CP đồng quy khi còn chỉ khi sin∠MABsin∠MAC.sin∠NBCsin∠NBA.sin∠PCAsin∠PCB=1
Chứng minh:
Áp dụng định lý sin cho các tam giác ABM và ACM ta tất cả :
BM = ABsin∠MABsin∠AMB
MC = ACsin∠MACsin∠AMC
Vì sin∠AMB = sin∠AMC đề nghị suy ra BMMC = ABAC.sin∠MABsin∠MAC (1)
Tương tự CNNA = BCAB.∠sinNBCsin∠NBA; APPB=ACBC.sin∠PCAsin∠PCB (2)
Ba đường thẳng AM,BN,CP đồng quy yêu cầu theo định lý Ceva có BMMC.CNNA.APPB = 1 (3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
sin∠MABsin∠MAC.sin∠NBCsin∠NBA.sin∠PCAsin∠PCB = 1
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC và tía đường thẳng AD,BE,CF đồng quy tại O với D,E,F lần lượt ở trên BC,CA,AB.
Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu của D,E,F lên EF,FD,ED. Chứng tỏ rằng AX,BY,CZ đồng quy.
Cách giải:
Ta sẽ kí hiệu D = ∠FDE,E=∠FED,F=∠DFE
Ta có: FXEX = SAFXSAEX = AF.AX.sin∠FAX.AE.AX.sin∠EAX=AFAE.sin∠FAXsin∠EAX
Mặt không giống ta cũng có: FXEX=tanF.DXtanE.DX=tanFtanE
Từ kia suy ra:
AFAE.sin∠FAXsin∠EAX=tanFtanE⇔sin∠FAXsin∠EAX=tanFtanE.AEAF
Làm tựa như như vậy cùng nhân lại, ta được:
sin∠FAXsin∠EAX.sin∠ECZsin∠DCZ.sin∠DBYsin∠FCY=1.AFBF.BDCD.CEAE
Theo định lý Ceva mang lại tam giác ABC, vì AD,BE,CF đồng quy nên ta có
AFBF.BDCD.CEAE=1
Như vậy ta được:
sin∠FAXsin∠EAX.sin∠ECZsin∠DCZ.sin∠DBYsin∠FCY = 1
Theo định lý Ceva dạng sin ta có AX,BY,CZ đồng quy.
5. Ứng dụng định lí Ceva
Bài 1: Cho tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của BC, E cùng F theo lần lượt là 2 điểm vị trí AB, AC làm sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng tỏ rằng EF // BC?
Lời giải
Nhận xét: Trong bài bác tập trên trường hợp dùng các dấu hiệu nhận ra hai mặt đường thẳng song song thông hay được sử dụng thì rất trở ngại trong hội chứng minh. Ở đây ta sử dụng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số hữu dụng là (EA/EB = FA/FC) và vận dụng định lí Ta-let nhằm thu được hiệu quả hay cùng ngắn gọn.
Xem thêm: Tổng Hợp Công Thức Vật Lý 10 Chương 1 0 Chương I, Tổng Hợp Công Thức Vật Lí 10 Chương I
Bài 2: mang lại tam giác ABC, hotline M là chân con đường vuông góc kẻ từ A đi ra đường phân giác của góc BCA. N và L theo thứ tự là chân mặt đường vuông góc kẻ từ bỏ A cùng C ra đường phân giác của góc ABC, call F là giao của MN và AC, E là giao của BF với CL, D là giao của BL cùng AC, minh chứng rằng DE // MN?
Bài 3: mang lại tam giác ABC và mặt đường tròn trung ương I nội tiếp tam giác xúc tiếp với những cạnh BC, CA, AB theo lần lượt tại D, E, F. điện thoại tư vấn D’, E’, F’ lần lượt là vấn đề đối xứng của D, E, F qua I. Chứng tỏ rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.