Tính đối kháng điệu của hàm số hợp (nâng cao) – bí quyết giải và bài xích tập gồm đáp
Loại 1: Đổi thay đổi số
Xét bài toán: tìm m để hàm số $y=fleft< uleft( x
ight)
ight>$ đồng đổi thay hoặc nghịch phát triển thành trên $D=left( a;b
ight)$.
Bạn đang xem: Bài tập tính đơn điệu của hàm số nâng cao
Phương pháp giải tính solo điệu của hàm số nâng cao
Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt $t=uleft( x ight)Rightarrow t"=u"left( x ight),left{ eginarray x=aRightarrow t=uleft( a ight) \ x=bRightarrow t=uleft( b ight) \ endarray ight.$
Nếu $t"=u"left( x ight)>0 ext left( forall xin D ight)$ thì vấn đề đồng (nghịch) biến chuyển trở thành việc tìm m để hàm số $y=fleft( t ight)$ đồng (nghịch) đổi mới trên $D_t=left( uleft( a ight);uleft( b ight) ight)$.
Nếu $t"=u"left( x ight)
A. $left< eginarray mle 0 \ 1le mLời giải
Cách 1: ĐK: $ an x e m$.
Khi đó $y"=frac-m+2left( an x-m ight)^2.frac1cos ^2x$
Hàm số đồng đổi mới trên khoảng chừng $left( 0;fracpi 4 ight)Leftrightarrow left{ eginarray an x e m \ frac-m+2left( an x-m ight)^2.frac1cos ^2x>0 \ endarray ight.left( forall xin left( 0;fracpi 4 ight) ight)$.
$Leftrightarrow left{ eginarray left< eginarray mle 0 \ mge 1 \ endarray ight. \ -m+2>0 \ endarray ight.Leftrightarrow left< eginarray mle 0 \ 1le m0 ext left( forall xin left( 0;fracpi 4 ight) ight)$; cùng với $xin left( 0;fracpi 4 ight)Rightarrow tin left( 0;1 ight)$.
Khi đó việc trở thành tìm m để hàm số $fleft( t ight)=fract-2t-m$ đồng thay đổi trên khoảng chừng $left( 0;1 ight)$
$Leftrightarrow left{ eginarray m e t \ f"left( t ight)=frac-m+2left( t-m ight)^2>0left( forall tin left( 0;1 ight) ight)Leftrightarrow left{ eginarray left< eginarray mge 1 \ mle 0 \ endarray ight. \ m
A. $-2Lời giải
Ta có: $y"=frac-m^2+4left( 2cos x-m ight)^2.left( -sin x ight)=fracleft( m^2-4 ight)sin xleft( 2cos x-m ight)^2$
Hàm số đã mang lại nghịch vươn lên là trên $left( fracpi 3;fracpi 2 ight)Leftrightarrow y"
A. $mle 0$ hoặc $1le mLời giải
Ta có: $y"=frac-m+2left( mcos x-1 ight)^2.sin x$. Vì thế $sin x0 \ m otin left( 0;1 ight) \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray m
A. $m>-3$. B. $left< eginarray mle -3 \ mge 2 \ endarray ight.$. C. $mLời giải
Ta có: $y"=left( frac2cos x+32cos x-m ight)^prime =fracleft( 2m+6 ight)sin xleft( 2cos x-m ight)^2$.
Hàm số nghịch trở nên trên khoảng chừng $left( 0;fracpi 3 ight)Rightarrow left{ eginarray y"
A. $min left( -infty ;0 ight)cup left( 1;+infty ight)$. B. $min left( 1;+infty ight)$. C. $min left( -infty ;0 ight)$. D. $min left( -infty ;1 ight)$.
Ta có: $y"=frac-1+mleft( mcot x-1 ight)^2.left( -frac1sin ^2x ight)$
+ với $m=0Rightarrow y=1-cot xRightarrow y"=frac1sin ^2x>0Rightarrow $ Hàm số đồng vươn lên là trên khoảng $left( fracpi 4;fracpi 2 ight)$.
+ cùng với $m e 0$, hàm số đồng đổi mới trên khoảng $left( fracpi 4;fracpi 2 ight)Leftrightarrow left{ eginarray y">0 \ cot x e frac1m \ endarray ight.left( forall xin left( fracpi 4;fracpi 2 ight) ight)$
$Leftrightarrow left{ eginarray 1-m>0 \ frac1m otin left( 0;1 ight) \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray m
A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.
Ta có: $y=fracmsin ^2x-16cos ^2x+m-1=fracmsin ^2x-16-sin ^2x+m ext left( extDo cos ^2x-1=-sin ^2x ight)$
Khi kia $y"=fracm^2-16left( -sin ^2x+m ight)^2.left( sin ^2x ight)^prime =fracm^2-16left( -sin ^2x+m ight)^2.2sin xcos x$
Do $2sin xcos x>0 ext left( forall xin left( 0;fracpi 2 ight) ight)$ cho nên vì thế hàm số đã đến nghịch biến đổi trên khoảng
$left( 0;fracpi 2 ight)Leftrightarrow left{ eginarray m^2-16
A. $left< eginarray mét vuông \ endarray ight.$. B. $-2Lời giải
Đặt $t=sqrt1-xRightarrow t"=frac-12sqrt1-x2 \ mét vuông \ m
A. $left< eginarray mle 0 \ 1le m2$
Đặt $t=sqrt1-5xRightarrow t"=frac-52sqrt1-5x0 \ endarray ight.left( forall tin left( 0;1 ight) ight)Leftrightarrow left{ eginarray left< eginarray mge 1 \ mle 0 \ endarray ight. \ m
A. $mge frac23$. B. $mge frac12$. C. $mge frac43$. D. $mge frac32$.
Ta có: $y=mleft( x^2-2x ight)-frac43left( x-3 ight)sqrtx-3-x o y"=2mleft( x-1 ight)-2sqrtx-3-1; ext forall xge 3$
Đặt $t=sqrtx-3ge 0Rightarrow t"=frac12sqrtx-3>0left( forall x>3 ight)Leftrightarrow x=t^2+3$, lúc đó $y"=fleft( t ight)=2mleft( t^2+2 ight)-2t-1$.
Để hàm số đồng biến trên tập xác định $fleft( t ight)>0; ext forall tge 0Leftrightarrow 2mleft( t^2+2 ight)ge 2t+1; ext forall tge 0$.
$Leftrightarrow 2mge frac2t+1t^2+2; ext forall tge 0Rightarrow 2mge undersetleft< 0;+infty ight)mathopmax ,gleft( t ight)$ cùng với hàm số $gleft( t ight)=frac2t+1t^2+2$
Mặt khác $gleft( t ight)-1=frac2t+1t^2+2-1=-fracleft( t-1 ight)^2t^2+2le 0Leftrightarrow gleft( t ight)le 1Rightarrow undersetleft< 0;+infty ight)mathopmax ,gleft( t ight)=1$
Vậy $2mge 1Leftrightarrow mge frac12$ là giá trị buộc phải tìm. Chọn B.
Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp đến trực tiếp
Phương pháp giải:Công thức đạo hàm của hàm thích hợp $left< fleft( u ight) ight>^prime =f"left( u ight).u"$.
Lập bảng xét lốt $y"$ của hàm số đã cho và kết luận.
Bài tập minh họa| Bài tập 1: Cho hàm số $y=fleft( x
ight)$ tất cả đạo hàm $f"left( x
ight)=left( x-1
ight)^2left( 2x-1
ight)left( x+1
ight)$ trên $mathbbR$. a) Tìm khoảng đồng trở nên của hàm số $gleft( x ight)=fleft( 1-2x ight)$. b) Tìm khoảng chừng nghịch phát triển thành của hàm số $hleft( x ight)=fleft( x+3 ight)$.. |
a) Ta có: $g"left( x ight)=left< fleft( 1-2x ight) ight>^prime =f"left( 1-2x ight).left( 1-2x ight)^prime =-2left( 1-2x-1 ight)^2left< 2left( 1-2x ight)-1 ight>left( 1-2x+1 ight)$
$Rightarrow g"left( x ight)=-8x^2left( 1-4x ight)left( 2-2x ight)=-16x^2left( 4x-1 ight)left( x-1 ight)$
Bảng xét dấu mang đến $g"left( x ight)$.
Vậy hàm số $gleft( x ight)$ đồng biến trên khoảng chừng $left( frac14;1 ight)$.
b) Ta có: $h"left( x ight)=left< fleft( x+3 ight) ight>^prime =f"left( x+3 ight).left( x+3 ight)^prime =left( x+3-1 ight)^2left< 2left( x+3 ight)-1 ight>left( x+3+1 ight)$
$Rightarrow h"left( x ight)=left( x+2 ight)^2left( 2x+5 ight)left( x+4 ight)
a) Xét tính đồng biến hóa và nghịch trở thành của hàm số $gleft( x ight)=fleft( x^2-2 ight)$.
b) Xét tính đồng biến hóa và nghịch trở thành của hàm số $hleft( x ight)=fleft( 1-x ight)+frac3x^22-5x+1$.
a) Ta có: $g"left( x ight)=2x.f"left( x^2-2 ight)=2x.left( x^2-2+1 ight)left( x^2-2-2 ight)=2x.left( x^2-1 ight)left( x^2-4 ight)$.
Bảng xét dấu mang đến $g"left( x ight)$.
Vậy hàm số $gleft( x ight)$ đồng đổi thay trên những khoảng $left( -infty ;-2 ight)$; $left( 1;1 ight)$ cùng $left( 2;+infty ight)$. Vậy hàm số $gleft( x ight)$ nghịch thay đổi trên những khoảng $left( -2;-1 ight)$ và $left( 1;2 ight)$.
b) Ta có: $h"left( x ight)=left< f"left( 1-x ight) ight>+3x-5=-f"left( 1-x ight)+3x-5=-left( 1-x+1 ight)left( 1-x-2 ight)+3x-5$
$=left( x-2 ight)left( -1-x ight)+3x-5=-x^2+4x-3=-left( x-1 ight)(x-3)$.
Bảng xét dấu đến $h"left( x ight)$
Vậy hàm số $hleft( x ight)$ đồng biến đổi trên khoảng $left( 1;3 ight)$ cùng nghịch biến đổi trên những khoảng $left( -infty ;1 ight)$ với $left( 3;+infty ight)$.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x
ight)$ gồm đạo hàm bên trên $mathbbR$ cùng $f"left( x
ight)=x^2-x$. a) tìm .khoảng đối chọi điệu của hàm số $gleft( x ight)=fleft( 2x+1 ight)-12x$. b) Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số $hleft( x ight)=fleft( x^2 ight)+frac16x^33-16x+2$. |
a) Ta có: $g"left( x ight)=2f"left( 2x+1 ight)-12=2.left< left( 2x+1 ight)^2-left( 2x+1 ight) ight>-12$
$=2left( 4x^2+2x-6 ight)=4left( 2x+3 ight)left( x-1 ight)$
Bảng xét dấu mang đến $g"left( x ight)$.
Vậy hàm số đồng vươn lên là trên mỗi khoảng chừng $left( -infty ;-frac32 ight)$ cùng $left( 1;+infty ight)$, hàm số nghịch đổi mới trên khoảng tầm $left( -frac32;1 ight)$.
b) Ta có: $h"left( x ight)=2x.f"left( x^2 ight)=2x(x^4-x^2)+16x^2-16=2x^3left( x^2-1 ight)+16left( x^2-1 ight)=2left( x^2-1 ight)left( x^3+8 ight)$
Bảng xét dấu cho $h"left( x ight)$.
Vậy hàm số đồng biến hóa trên khoảng chừng $left( -2;-1 ight)$ cùng $left( 1;+infty ight)$, hàm số nghịch biến hóa trên khoảng tầm $left( -infty ;-2 ight)$ với $left( -1;1 ight)$.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=fleft( x
ight)$ có đạo hàm $f"left( x
ight)=left( x-2
ight)left( 2x-5
ight) ext forall xin mathbbR$. Tìm khoảng đồng biến chuyển của hàm số $y=fleft( x^2+2
ight)-frac12x^4+2$ A. $left( -1;1 ight)$. B. $left( 0;2 ight)$. C. $left( 1;+infty ight)$. D. $left( -3;0 ight)$. |
Ta có: $y=fleft( x^2+2 ight)-frac12x^4+2Rightarrow y"=2x.f"left( x^2+2 ight)-2x^3=2x.x^2left( 2x^2+4-5 ight)-2x^3$
$=2x^3left( 2x^2-2 ight)=4x^3left( x-1 ight)left( x+1 ight)$.
Bảng xét dấu đến $y"$.
Dựa vào bảng xét vết suy ra hàm số đồng vươn lên là trên khoảng tầm $left( 1;+infty ight)$. Chọn C.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y=fleft( x
ight)$ gồm đạo hàm $f"left( x
ight)=x^3left( x-1
ight)^2left( 2x-1
ight)$ trên $mathbbR$ cùng hàm số $gleft( x
ight)=fleft( x+2
ight)$. Hàm số $gleft( x
ight)$ nghịch đổi thay trên khoảng chừng nào sau đây: A. $left( -infty ;-2 ight)$. B. $left( -2;-frac32 ight)$. C. $left( 2;frac32 ight)$. D. $left( frac32;+infty ight)$. |
Ta có: $g"left( x ight)=left< fleft( x+2 ight) ight>^prime =left( x+2 ight)^3left( x+2-1 ight)^2left< 2left( x+2 ight)-1 ight>$
$=left( x+2 ight)^3left( x+1 ight)^2.left( 2x+3 ight)
A. $left( -1;0 ight)$. B. $left( 0;1 ight)$. C. $left( -2;-1 ight)$. D. $left( -1;1 ight)$.
Ta có: $f"left( x ight)=left( x^2+x ight)left( x-2 ight)^2=xleft( x+1 ight)left( x-2 ight)^2$
Khi kia $g"left( x ight)=left< fleft( x^2-1 ight) ight>^prime =left( x^2-1 ight)^prime .f"left( x^2-1 ight)$
$=2xleft( x^2-1 ight).x^2left< left( x^2-1 ight)-2 ight>^2>0Leftrightarrow xleft( x^2-1 ight)>0Leftrightarrow left< eginarray x>1 \ -1
A. $left( 1;2 ight)$. B. $left( -1;1 ight)$. C. $left( 0;1 ight)$. D. $left( -infty ;-1 ight)$.
Ta tất cả công thức đạo hàm của hàm hợp $left< fleft( u ight) ight>^prime =f"left( u ight).u"left( x ight)$.
Do đó $left< fleft( x^2-1 ight) ight>^prime =f"left( x^2-1 ight).2x=2left( x^2-1 ight)x^3$.
Vẽ bảng xét vệt ta có: $left< fleft( x^2-1 ight) ight>^prime >0Leftrightarrow left< eginarray x>1 \ -1
A. $left( -infty ;-2 ight)$. B. $left( 0;2 ight)$. C. $left( 2;4 ight)$. D. $left( -2;1 ight)$.
Ta có: $left( frac5xx^2+4 ight)^prime =5.fracx^2+4-2x^2left( x^2+4 ight)^2=5.frac4-x^2left( x^2+4 ight)^2$.
Xét hàm số: $y=fleft( frac5xx^2+4 ight)Rightarrow y"=5.frac4-x^2left( x^2+4 ight)^2.frac5xx^2+4left( frac5xx^2+4-1 ight)^2left( frac5xx^2+4-2 ight)>0$
$Leftrightarrow left( 4-x^2 ight)x.left( 5x-2x^2-8 ight)>0Leftrightarrow left( x+2 ight)x(x-2)left( 2x^2-5x+8 ight)>0$
$Leftrightarrow left( x+2 ight)x(x-2)>0Leftrightarrow left< eginarray x>2 \ -2
A. $left( 0;1 ight)$. B. $left( -2;0 ight)$. C. $left( 1;3 ight)$. D. $left( 2;+infty ight)$.
Ta có: $y=fleft( x^2 ight)-18x^2+2Rightarrow y"=2x.f"left( x^2 ight)-36x=2x.left< f"left( x^2 ight)-18 ight>$
$Leftrightarrow 2xleft( x^4+x^2-2-18 ight)=2xleft( x^2-4 ight)left( x^2+5 ight)$.
Bảng xét dấu mang đến $y"$
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch đổi mới trên khoảng $left( 0;2 ight)$. Chọn A.
| Bài tập 10: Cho hàm số $y=fleft( x
ight)$ tất cả đạo hàm $f"left( x
ight)=x^2left( x-1
ight)left( x^2-4
ight)$. Hàm số $y=fleft( 2-x
ight)$ đồng đổi thay trên khoảng tầm nào? A. $left( -infty ;0 ight)$. B. $left( 0;1 ight)$. C. $left( 2;+infty ight)$. D. $left( 1;4 ight)$. |
Ta có: $f"left( x ight)=x^2left( x-1 ight)left( x^2-4 ight)=x^2left( x-1 ight)left( x-2 ight)left( x+2 ight)$.
Khi đó: $y=fleft( 2-x ight)Rightarrow y"=-left( 2-x ight)^2left( 1-x ight)left( -x ight)left( 4-x ight)=left( x-2 ight)^2xleft( x-1 ight)left( x-4 ight)>0$
$Leftrightarrow xleft( x-1 ight)left( x-4 ight)>0Leftrightarrow left< eginarray x>4 \ 0
A. $left( -2;-1 ight)$. B. $left( -1;0 ight)$. C. $left( 0;1 ight)$. D. $left( -4;-3 ight)$.
Ta có: $f"left( x ight)=left( x+3 ight)left( x^2+x ight);g"left( x ight)=left( 2x+2 ight).f"left( x^2+2x ight)+2x^3+6x^2+4x$
$=2left( x+1 ight)left( x^2+2x+3 ight)left( x^2+2x ight)left( x^2+2x+1 ight)+2xleft( x^2+3x+2 ight)$
$=2xleft( x+1 ight)left( x+2 ight)left< left( x^2+2x+3 ight)left( x^2+2x+1 ight)+1 ight>$
Do $x^2+2x+1=left( x+1 ight)^2ge 0 ext left( forall xin mathbbR ight)$ buộc phải $left( x^2+2x+3 ight)left( x^2+2x+1 ight)+1>0 ext left( forall xin mathbbR ight)$
Do kia $g"left( x ight)>0Leftrightarrow xleft( x+1 ight)left( x+2 ight)>0Leftrightarrow left< eginarray x>0 \ -2
A. $left( 0;2 ight)$. B. $left( -infty ;0 ight)$. C. $left( 2;+infty ight)$. D. $left( 1;2 ight)$.
Ta có: $g"left( x ight)=left< fleft( x ight).f"left( x ight) ight>^prime =fleft( x ight).f""left( x ight)+f^2"left( x ight)=xleft( x-1 ight)left( x-2 ight)>0Leftrightarrow left< eginarray x>1 \ 0
A. 6. B. 8. C. 5. D. 7.
Ta có: $y=fleft( 4-x ight)Rightarrow y"=-left( 4-x ight)left( 3-x ight)^2left( t^2+mt+16 ight)$ với $t=4-x, ext x>4Rightarrow tPhương pháp giải:
Giả sử đưa thiết câu hỏi cho trang bị thị hàm $f"left( x ight)$ với tất cả $xin mathbbR$ như hình vẽ dưới đây.
Đối với vấn đề tìm khoảng tầm đồng biến hóa nghịch thay đổi của hàm số $y=fleft( x ight)$ ta dựa thứ thị $f"left( x ight)$như hình vẽ nhằm tìm khoảng tầm đồng đổi mới nghịch biến.
Đối với việc tìm khoảng tầm đồng đổi thay nghịch trở nên của hàm thích hợp $y=fleft( u ight)$ ta làm cho như sau:
Ta thấy $f"left( x ight)$ đổi dấu qua các điểm $x=b, ext x=c, ext x=d$ với $f"left( x ight)$ bằng không tuy vậy không đổi vệt tại những điểm $x=a, ext x=e$ buộc phải ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm:
$f"left( x ight)=kleft( x-a ight)^2left( x-b ight)left( x-c ight)left( x-d ight)left( x-e ight)^2$
Trong đó hệ số $k>0$ ví như $undersetx o +infty mathoplim ,f"left( x ight)>0$ và $k0$ (vì khi $x o +infty $ thì $f"left( x ight)>0$ phải ta có thể giả sử:
$f"left( x ight)=left( x-a ight)^2left( x-b ight)left( x-c ight)left( x-d ight)left( x-e ight)^2$ từ kia suy ra đạo hàm của hàm đúng theo $left< fleft( u ight) ight>^prime =u".f"left( u ight)$. Từ kia lập bảng xét dấu cùng kết luận.
Bài tập 1: Cho hàm số $y=fleft( x
ight)$. Hàm số $y=f"left( x
ight)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đã đến nghịch biến đổi trên khoảng tầm nào sau đây? A. $left( 0;2 ight)$. B. $left( 1;3 ight)$. C. $left( -1;1 ight)$. D. $left( -infty ;2 ight)$. |
Dựa vào vật dụng thị hàm số $y=f"left( x ight)$ ta thấy $1
A. $left( 1;3 ight)$. B. $left( 2;+infty ight)$.
C. $left( -2;1 ight)$. D. $left( -infty ;-2 ight)$.
Lời giải
Cách 1: Giả sử $f"left( x ight)=left( x+1 ight)left( x-1 ight)left( x-4 ight)$ ta có: $left< fleft( 2-x ight) ight>^prime =f"left( 2-x ight).left( 2-x ight)^prime $
$=-f"left( 2-x ight)=-left( 2-x+1 ight)left( 2-x-1 ight)left( 2-x-4 ight)=left( x-3 ight)left( x-1 ight)left( x+2 ight)>0$.
Bảng xét vết $left< fleft( 2-x ight) ight>^prime $
Vậy hàm số đồng trở nên trên $left( -2;1 ight)$ và $left( 3;+infty ight)$.
Cách 2: Ta có: $left< fleft( 2-x ight) ight>^prime =f"left( 2-x ight).left( 2-x ight)^prime =-f"left( 2-x ight)>0Leftrightarrow f"left( 2-x ight)3 \ -2
Hàm số $y=fleft( x^2-2 ight)$ nghịch đổi thay trên khoảng nào bên dưới đây?
A. $left( -2;0
ight)$. B. $left( 2;+infty
ight)$. C. $left( 0;2
ight)$. D.
Xem thêm: Giải Mã Hiện Tượng Tự Nhiên Bị Nổi Da Gà Là Gì, Cách Điều Trị
$left( -infty ;-2
ight)$.
Dựa vào bảng xét lốt ta có thể giả sử $f"left( x ight)=-left( x+2 ight)xleft( x-2 ight)$
(Chú ý: Do $undersetx o +infty mathoplim ,f"left( x ight)0Leftrightarrow left< eginarray x>2 \ 0