Số phức và những dạng toán về số phức là trong những nội dung mà nhiều chúng ta cảm thấy chúng tương đối trừu tượng với khá cực nhọc hiểu, 1 phần nguyên nhân là bọn họ đã quá quen với số thực trong số những năm học trước.

Bạn đang xem: Bài tập số phức 12


Vì vậy, ở bài viết này temperocars.com sẽ khối hệ thống lại những dạng toán về số phức đôi khi hướng dẫn phương pháp giải những dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài bác tập số phức, các bạn cũng buộc phải nhớ những nội dung về triết lý số phức.

I. Triết lý về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập đúng theo số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
, 
*

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , () được màn biểu diễn bởi điểm M(a,b) tốt bởi 

*
 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- cho số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 bao gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- cho phương trình bậc 2 số phức gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang đến trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- cho z = r(cosφ + isinφ) cùng z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Phương pháp Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• mang đến z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Những dạng toán về Số phức và giải pháp giải

• Dạng 1: các phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ quá và đặc thù phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi thống kê giám sát các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng tuyệt hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang đến số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cung cấp số nhân với số hạng trước tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- trường đoản cú giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương thức giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, các phép biến đổi để giải quyết và xử lý bài toán.

° lấy một ví dụ 1: tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức đề xuất tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, với z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: xác minh phần thực phần ảo, search đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới đặc thù của số phức.

♦ loại 1: kiếm tìm phần thực phần ảo của số phức

- giải pháp giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức sẽ cho gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức vẫn cho bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức sẽ cho gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ loại 2: biểu diễn hình học của số phức

- bí quyết giải: thực hiện điểm M(a;b) màn biểu diễn số phức z cùng bề mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn trình diễn bởi điểm nào trong số điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có màn trình diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ các loại 3: Tính Module của số phức

- biện pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tra cứu mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ loại 4: tìm kiếm số đối của số phức

- giải pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ loại 5: tìm số phức phối hợp của số phức z

- bí quyết giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức phối hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ loại 6: tìm kiếm số phức nghịch đảo của số phức

- giải pháp giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm những số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- giải pháp giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y làm sao cho z = x + yi thỏa mãn nhu cầu z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* cách thức giải:

♦ các loại 1: Số phức z thỏa mãn về độ nhiều năm (module) khi ấy ta sử dụng công thức 

♦ một số loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta thực hiện kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 với b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập vừa lòng điểm M màn biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập vừa lòng điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) điện thoại tư vấn N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường thẳng qua N và tuy nhiên song với Ox, sẽ là đường thẳng y = -3.

c) hotline I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- lúc đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường tròn trung tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 cùng z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- khía cạnh khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) với (2) tất cả VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức cùng phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được hotline là căn bậc 2 của số phức z nếu như w2 = z tốt (x + yi)2 = a + bi.

- lưu giữ ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta bao gồm 2 ngôi trường hợp dễ dàng và đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, tốt x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình bao gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong số đó a, b, c là những số phức a≠0

- bí quyết giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình tất cả nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên tất cả 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm kiếm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài xích toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta tất cả hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình vẫn cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* cách thức giải: Đặt ẩn phụ và mang đến phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- nhận thấy, z=0 không hẳn nghiệm của phương trình đề xuất chia 2 vế mang đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 không hẳn là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt đến z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng gốc rễ cho hàng loạt công thức đặc trưng khác như phép luỹ thừa, khai số mệnh phức, cách làm Euler.

- phương pháp 1: 

*

- bí quyết 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được điện thoại tư vấn là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta bao gồm phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vì z=-1 chưa hẳn là nghiệm của phương trình đề nghị nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* phương pháp giải: Vận dụng kiến thức và kỹ năng tìm cực trị

° lấy ví dụ như 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z tất cả modul bé dại nhất.

Xem thêm: Trường Thpt Phan Đình Phùng Hà Nội, Thpt Phan Đình Phùng

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Bởi vậy các điểm M màn trình diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên tuyến đường tròn trung khu I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Khi ấy M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay gần O hơn và 

*