Giới hạn hàm số giỏi thường điện thoại tư vấn là số lượng giới hạn của hàm số – Là loài kiến thức đặc biệt quan trọng của toán 11 ở trong bậc THPT. Để học tốt phần này các bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách áp dụng linh hoạt những dạng vào giải bài tập.
Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải
1. định hướng giới hạn hàm số
1.1 số lượng giới hạn của hàm số trên một điểm
Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): trả sử (a; b) là 1 khoảng đựng điểm x0 cùng y = f (x) là một trong những hàm số xác minh trên một khoảng tầm (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với tất cả dãy số (xn) trong tập hòa hợp (a; b) x0 mà lại lim xn = x0 ta đều phải có lim f (xn) = L lúc đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x0
Từ định nghĩa, ta có những kết quả:
$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) khẳng định tại điểm x0 thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): giả sử (a; b) là 1 khoảng đựng điểm x0 cùng y = f (x) là một trong những hàm số khẳng định trên một khoảng (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô rất khi x dần mang lại x0 (hoặc trên điểm x0 ) nếu với tất cả dãy số (xn) vào tập hợp (a; b) x0 nhưng lim xn = x0
ta đều có limf(xn)= ±∞
Khi đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ lúc x → x0
1.2 giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3. đưa sử hàm số y = f (x) khẳng định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với đa số dãy số (xn) trong tập hòa hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞
ta đều phải có lim f (xn) = L
1.3 một vài định lý về giới hạn hữu hạn
Sau đó là 3 định lý đặc trưng về giới hạn hữu hạn hàm số
1.4 số lượng giới hạn một bên
Đề tìm giới hạn bên bắt buộc hay số lượng giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta nhờ vào lý thuyết đặc trưng sau
1.5 một số trong những quy tắc tìm số lượng giới hạn vô cực
Sau đó là 2 Quy tắc đặc biệt đề tìm số lượng giới hạn vô cực bạn cần nhớ
1.6 những dạng vô định
2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa số lượng giới hạn của hàm số tra cứu giới hạn
Sử dụng những định nghĩa 1, tư tưởng 2, định nghĩa 3.
Bài tập 1. áp dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm những giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$
Lời giải
Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ ko tồn tại
Ta tiến hành theo công việc sau:
Bài tập 2: Tìm số lượng giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$
Lời giải
Đặt f(x) = cos x. Chọn hai hàng số xn và yn với:
Dạng 3. Những định lí về giới hạn và giới hạn cơ bạn dạng để tìm giới hạn
Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số nhưng mà ta sẽ biết giới hạn.
Xem thêm: Em Hãy Viết Một Bức Thư Ngắn Cho Người Thân Hay Và Chọn Lọc Nhất
Ta có kết quả sau:
Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, rõ ràng Giả sử bắt buộc tính số lượng giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$
ta thực hiện các bước sau:
Bài tập 3: Tính những giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$
Lời giải
$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12
Nhận xét
Với hàm số f(x) xác minh tại điểm x0 thì giới hạn của nó lúc x → x0 có giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ bao gồm f(x0) ≠ 0 cùng g(x0) = 0 thì giới hạn của nó lúc x → x0 có mức giá trị bởi ∞.Trong trường hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tất cả f(x0) = 0 (tức gồm dạng $frac00$)Chúng ta nên sử dụng các phép đổi khác đại số để khử dạng $frac00$, và thông thường là làm xuất hiện thêm nhân tử chung (x − x0)Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số
Sử dụng những định lí với lưu ý sau:
x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x0 cùng x > x0 ( lúc ấy |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được phát âm là x → x0 và x 0 ( khi đó |x − x0| = x0 − x)Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của các giới hạn sau:
a) $mathop lim limits_x o 2^ + frac 3x – 6 ightx – 2$
b) $mathop lim limits_x o 2^ – frac 3x – 6 ightx – 2$
Lời giải
a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$
b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$
Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì số lượng giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0
Dạng 5. Số lượng giới hạn của hàm số số kép
Bài tập 5. Cho hàm số
Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ và $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$
Lời giải
Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực
Dạng 7. Dạng $frac00$
Bản chất của bài toán khử dạng không xác định $frac00$ là làm xuất hiện thêm nhân tử chung để:
Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác địnhHoặc là đổi khác về dạng giới hạn cơ bản, không còn xa lạ đã biết hiệu quả hoặc biết cách giả
Dạng 8. Số lượng giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0
a) Đối cùng với dạng 0.∞ với ∞0 ta chọn một trong hai bí quyết sau
Cách 1: áp dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản
Cách 2: thực hiện nguyên lí kẹp giữa với các bước
b) Đối với dạng 1∞ nên nhớ những giới hạn cơ phiên bản sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$
Trên đây là nội dung bài viết chia sẻ cách tìm giới hạn hàm số và các dạng bài xích tập thường xuyên gặp. Bài tới ta sẽ học về hàm số liên tục, mới chúng ta đón xem.
Mọi thắc mắc bạn vui tươi để lại bình luận dưới để Toán học tập giải đáp cụ thể hơn. Chúc bạn làm việc tập hiệu quả